Calculadora de Projeção Ortogonal
Calcule a projeção ortogonal de um vetor sobre outro com soluções passo a passo e análise detalhada
Calculadora de Projeção Ortogonal
Calcule a projeção ortogonal de um vetor sobre outro com soluções passo a passo e análise detalhada
Resultados da Projeção
Insira os componentes do vetor para calcular a projeção ortogonal
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How to Use This Calculator
Step-by-step guide to get accurate results
1
A projeção ortogonal é um conceito fundamental em álgebra linear que projeta um vetor sobre outro. A projeção do vetor **a** sobre o vetor **b** cria um novo vetor que está ao longo de **b** e representa a componente de **a** na direção de **b**. Isso é particularmente útil em física, computação gráfica e análise de dados.
2
A projeção ortogonal do vetor **a** sobre o vetor **b** é calculada usando a fórmula:
**proj_b(a) = ((a·b) / (b·b)) × b**
Onde:
- **a·b** é o produto escalar dos vetores a e b
- **b·b** é o produto escalar de b consigo mesmo (magnitude ao quadrado)
- O resultado é um vetor paralelo a **b**
3
1. **Selecionar Dimensão**: Escolha entre vetores 2D ou 3D
2. **Inserir Vetor a**: Insira os componentes x, y (e z para 3D) do primeiro vetor
3. **Inserir Vetor b**: Insira os componentes x, y (e z para 3D) do segundo vetor
4. **Calcular**: Clique no botão para ver o vetor de projeção e etapas detalhadas
A calculadora mostrará o vetor de projeção, sua magnitude e uma análise passo a passo do cálculo.
4
A calculadora fornece:
- **Vetor de Projeção**: O vetor resultante que representa a projeção de a sobre b
- **Magnitude**: O comprimento do vetor de projeção
- **Produto Escalar**: O produto escalar a·b usado no cálculo
- **Fator de Escala**: A razão (a·b)/(b·b) que determina quanto de b forma a projeção
- **Solução Passo a Passo**: Uma análise detalhada mostrando cada etapa do cálculo
5
A projeção ortogonal tem muitas aplicações práticas:
- **Física**: Cálculo de componentes de força em diferentes direções
- **Computação Gráfica**: Renderização de objetos 3D em telas 2D
- **Aprendizado de Máquina**: Análise de Componentes Principais (PCA) e redução de dimensionalidade
- **Engenharia**: Análise de forças estruturais e componentes de tensão
- **Processamento de Sinais**: Decomposição de sinais em componentes ortogonais
6
Vamos projetar o vetor **a = (3, 4)** sobre o vetor **b = (1, 1)**:
1. Calcular a·b = 3×1 + 4×1 = 7
2. Calcular b·b = 1×1 + 1×1 = 2
3. Fator de escala = 7/2 = 3,5
4. Projeção = 3,5 × (1, 1) = (3,5, 3,5)
O vetor de projeção é (3,5, 3,5) com magnitude ≈ 4,95
Frequently Asked Questions
O que acontece se o vetor b for um vetor zero?
A projeção é indefinida quando o vetor b é um vetor zero porque não podemos dividir por zero (b·b = 0). A calculadora exibirá uma mensagem de erro neste caso.
Posso projetar um vetor 2D sobre um vetor 3D?
Não, ambos os vetores devem ter a mesma dimensão. Você precisa adicionar um componente z ao vetor 2D (tornando-o 3D) ou remover o componente z do vetor 3D (tornando-o 2D).
Qual é a diferença entre projeção 2D e 3D?
A fórmula é a mesma para projeções 2D e 3D. A única diferença é que vetores 3D têm um componente z adicional que é incluído nos cálculos do produto escalar.
Por que é chamada de projeção 'ortogonal'?
É chamada de ortogonal porque a diferença entre o vetor original a e sua projeção (chamada de vetor de rejeição) é perpendicular (ortogonal) ao vetor b.
O que é o fator de escala?
O fator de escala é a razão (a·b)/(b·b) que indica quantas vezes o vetor b precisa ser escalado para obter a projeção. Se for positivo, a projeção aponta na mesma direção que b; se negativo, aponta na direção oposta.