Mittelwertsatz-Rechner
Wenden Sie den Mittelwertsatz an, um Punkte auf einer Kurve zu finden
Unterstützt: +, -, *, /, **, sin, cos, tan, sqrt, log, ln, exp, abs, pi, e
Formel des Mittelwertsatzes:
f'(c) = rac{f(b) - f(a)}{b - a}wobei a < c < b
Geben Sie Funktion und Intervall ein und klicken Sie dann Berechnenum das Ergebnis zu sehen.
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Beispielrechnungen
Beispiel 1
Beispiel 2
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Was ist ein Mittelwertsatzrechner?
Ist der Rechner kostenlos?
Welche Funktionen werden unterstützt?
Muss ich mich registrieren, um es nutzen zu können?
Kann es mehrere Werte von c finden?
Ist es für komplexe Funktionen genau?
Können Schüler es für Hausaufgaben verwenden?
Erklärt es die Schritte?
Kann es manuelle Berechnungen ersetzen?
Wo kann ich darauf zugreifen?
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Der Mittelwertsatz (MVT) ist ein Schlüsselergebnis der Differentialrechnung. Darin heißt es: Wenn eine Funktion f im geschlossenen Intervall [a, b] stetig und im offenen Intervall (a, b) differenzierbar ist, dann gibt es mindestens einen Punkt c in (a, b), sodass die Ableitung f'(c) gleich der durchschnittlichen Änderungsrate über [a, b] ist.
Geometrisch bedeutet dies, dass es mindestens einen Punkt gibt, an dem die Tangente an die Kurve parallel zur Sekantenlinie verläuft, die (a, f(a)) und (b, f(b)) verbindet.
Formel des Mittelwertsatzes:
f'(c) = rac{f(b) - f(a)}{b - a}wobei a < c < b
Schritt-für-Schritt-Logik:
- Stellen Sie sicher, dass die Funktion auf [a, b] stetig und auf (a, b) differenzierbar ist.
- Compute the average rate of change: rac{f(b) - f(a)}{b - a}.
- Finden Sie die Ableitung f'(x).
- Solve f'(c) = rac{f(b) - f(a)}{b - a} for c in (a, b).
Bedingungen für MVT:
- f(x) muss im geschlossenen Intervall [a,b] stetig sein
- f(x) muss auf dem offenen Intervall (a,b) differenzierbar sein
- Der Satz garantiert mindestens ein solches c, aber es kann noch mehr geben.
- Geben Sie Ihre Funktion f(x) in der mathematischen Standardschreibweise ein (z. B. x**2, sin(x), -4*x**3 + 6*x - 2).
- Geben Sie die Intervallendpunkte a und b an (mit a < b).
- Klicken Sie auf „Punkt berechnen“, um den/die Wert(e) von c zu ermitteln.
- Sehen Sie sich die Schritt-für-Schritt-Lösung mit allen Berechnungen an.
- Stellen Sie sicher, dass jedes c im offenen Intervall (a, b) liegt.
Beispiel 1: f(x) = x², [1, 3]
Schritt-für-Schritt-Lösung:
• f(1) = 1, f(3) = 9
• AROC = (9-1)/(3-1) = 4
• f'(x) = 2x
• Lösen Sie: 2c = 4 ⇒ c = 2
• Überprüfen Sie: 2 ∈ (1,3) ✅
Beispiel 2: f(x) = x³, [0, 2]
Schritt-für-Schritt-Lösung:
• f(0) = 0, f(2) = 8
• AROC = (8-0)/(2-0) = 4
• f'(x) = 3x²
• Lösen: 3c² = 4 ⇒ c² = 4/3 ⇒ c = ±√(4/3) ≈ ±1,154 (nur positiv im Intervall)
• Überprüfen Sie: 1,154 ∈ (0,2) ✅
Beispiel 3: f(x) = -4x³ + 6x - 2, [-4, 2] (korrigierte Berechnung)
Schritt-für-Schritt-Lösung:
• f(-4) = 230, f(2) = -22
• AROC = (-22 - 230)/(2 - (-4)) = -252/6 = -42
• f'(x) = -12x² + 6
• Lösen Sie: -12c² + 6 = -42 ⇒ -12c² = -48 ⇒ c² = 4 ⇒ c = ±2
• Überprüfen Sie: -2 und 2 ∈ (-4,2)? -2 ✅, 2 ❌ (2 ist Endpunkt, aber offenes Intervall)