Orthogonale Projektionsrechner
Berechnen Sie die orthogonale Projektion eines Vektors auf einen anderen mit schrittweisen Lösungen und detaillierter Analyse
Orthogonale Projektionsrechner
Berechnen Sie die orthogonale Projektion eines Vektors auf einen anderen mit schrittweisen Lösungen und detaillierter Analyse
Projektionsergebnisse
Geben Sie Vektorkomponenten ein, um die orthogonale Projektion zu berechnen
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How to Use This Calculator
Step-by-step guide to get accurate results
1
Die orthogonale Projektion ist ein grundlegendes Konzept der linearen Algebra, bei dem ein Vektor auf einen anderen projiziert wird. Die Projektion von Vektor **a** auf Vektor **b** erzeugt einen neuen Vektor, der entlang **b** liegt und die Komponente von **a** in Richtung **b** darstellt. Dies ist besonders nützlich in der Physik, Computergrafik und Datenanalyse.
2
Die orthogonale Projektion von Vektor **a** auf Vektor **b** wird mit der Formel berechnet:
**proj_b(a) = ((a·b) / (b·b)) × b**
Wobei:
- **a·b** das Skalarprodukt der Vektoren a und b ist
- **b·b** das Skalarprodukt von b mit sich selbst ist (Betrag im Quadrat)
- Das Ergebnis ist ein Vektor parallel zu **b**
3
1. **Dimension wählen**: Wählen Sie zwischen 2D- oder 3D-Vektoren
2. **Vektor a eingeben**: Geben Sie die x-, y- (und z- für 3D) Komponenten des ersten Vektors ein
3. **Vektor b eingeben**: Geben Sie die x-, y- (und z- für 3D) Komponenten des zweiten Vektors ein
4. **Berechnen**: Klicken Sie auf die Schaltfläche, um den Projektionsvektor und detaillierte Schritte zu sehen
Der Rechner zeigt Ihnen den Projektionsvektor, seinen Betrag und eine schrittweise Aufschlüsselung der Berechnung.
4
Der Rechner liefert:
- **Projektionsvektor**: Der resultierende Vektor, der die Projektion von a auf b darstellt
- **Betrag**: Die Länge des Projektionsvektors
- **Skalarprodukt**: Das Skalarprodukt a·b, das in der Berechnung verwendet wird
- **Skalierungsfaktor**: Das Verhältnis (a·b)/(b·b), das bestimmt, wie viel von b die Projektion bildet
- **Schritt-für-Schritt-Lösung**: Eine detaillierte Aufschlüsselung jedes Berechnungsschritts
5
Orthogonale Projektion hat viele praktische Anwendungen:
- **Physik**: Berechnung von Kraftkomponenten in verschiedenen Richtungen
- **Computergrafik**: Darstellung von 3D-Objekten auf 2D-Bildschirmen
- **Maschinelles Lernen**: Hauptkomponentenanalyse (PCA) und Dimensionsreduktion
- **Ingenieurwesen**: Analyse von Strukturkräften und Spannungskomponenten
- **Signalverarbeitung**: Zerlegung von Signalen in orthogonale Komponenten
6
Projizieren wir Vektor **a = (3, 4)** auf Vektor **b = (1, 1)**:
1. Berechne a·b = 3×1 + 4×1 = 7
2. Berechne b·b = 1×1 + 1×1 = 2
3. Skalierungsfaktor = 7/2 = 3,5
4. Projektion = 3,5 × (1, 1) = (3,5, 3,5)
Der Projektionsvektor ist (3,5, 3,5) mit Betrag ≈ 4,95
Frequently Asked Questions
Was passiert, wenn Vektor b ein Nullvektor ist?
Die Projektion ist undefiniert, wenn Vektor b ein Nullvektor ist, da wir nicht durch Null teilen können (b·b = 0). Der Rechner zeigt in diesem Fall eine Fehlermeldung an.
Kann ich einen 2D-Vektor auf einen 3D-Vektor projizieren?
Nein, beide Vektoren müssen die gleiche Dimension haben. Sie müssen entweder eine z-Komponente zum 2D-Vektor hinzufügen (um ihn 3D zu machen) oder die z-Komponente vom 3D-Vektor entfernen (um ihn 2D zu machen).
Was ist der Unterschied zwischen 2D- und 3D-Projektion?
Die Formel ist für 2D- und 3D-Projektionen gleich. Der einzige Unterschied besteht darin, dass 3D-Vektoren eine zusätzliche z-Komponente haben, die in die Skalarproduktberechnungen einbezogen wird.
Warum heißt es 'orthogonale' Projektion?
Es wird orthogonal genannt, weil die Differenz zwischen dem ursprünglichen Vektor a und seiner Projektion (genannt Rejektionsvektor) senkrecht (orthogonal) zu Vektor b ist.
Was ist der Skalierungsfaktor?
Der Skalierungsfaktor ist das Verhältnis (a·b)/(b·b), das angibt, wie oft Vektor b skaliert werden muss, um die Projektion zu erhalten. Wenn er positiv ist, zeigt die Projektion in die gleiche Richtung wie b; wenn er negativ ist, zeigt sie in die entgegengesetzte Richtung.