Calculadora de Proyección Ortogonal
Calcule la proyección ortogonal de un vector sobre otro con soluciones paso a paso y análisis detallado
Calculadora de Proyección Ortogonal
Calcule la proyección ortogonal de un vector sobre otro con soluciones paso a paso y análisis detallado
Resultados de Proyección
Ingrese los componentes del vector para calcular la proyección ortogonal
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How to Use This Calculator
Step-by-step guide to get accurate results
1
La proyección ortogonal es un concepto fundamental en álgebra lineal que proyecta un vector sobre otro. La proyección del vector **a** sobre el vector **b** crea un nuevo vector que se encuentra a lo largo de **b** y representa el componente de **a** en la dirección de **b**. Esto es particularmente útil en física, gráficos por computadora y análisis de datos.
2
La proyección ortogonal del vector **a** sobre el vector **b** se calcula usando la fórmula:
**proj_b(a) = ((a·b) / (b·b)) × b**
Donde:
- **a·b** es el producto escalar de los vectores a y b
- **b·b** es el producto escalar de b consigo mismo (magnitud al cuadrado)
- El resultado es un vector paralelo a **b**
3
1. **Seleccionar Dimensión**: Elija entre vectores 2D o 3D
2. **Ingresar Vector a**: Ingrese los componentes x, y (y z para 3D) del primer vector
3. **Ingresar Vector b**: Ingrese los componentes x, y (y z para 3D) del segundo vector
4. **Calcular**: Haga clic en el botón para ver el vector de proyección y pasos detallados
La calculadora mostrará el vector de proyección, su magnitud y un desglose paso a paso del cálculo.
4
La calculadora proporciona:
- **Vector de Proyección**: El vector resultante que representa la proyección de a sobre b
- **Magnitud**: La longitud del vector de proyección
- **Producto Escalar**: El producto escalar a·b utilizado en el cálculo
- **Factor de Escala**: La razón (a·b)/(b·b) que determina cuánto de b forma la proyección
- **Solución Paso a Paso**: Un desglose detallado que muestra cada paso del cálculo
5
La proyección ortogonal tiene muchas aplicaciones prácticas:
- **Física**: Cálculo de componentes de fuerza en diferentes direcciones
- **Gráficos por Computadora**: Renderización de objetos 3D en pantallas 2D
- **Aprendizaje Automático**: Análisis de Componentes Principales (PCA) y reducción de dimensionalidad
- **Ingeniería**: Análisis de fuerzas estructurales y componentes de tensión
- **Procesamiento de Señales**: Descomposición de señales en componentes ortogonales
6
Proyectemos el vector **a = (3, 4)** sobre el vector **b = (1, 1)**:
1. Calcular a·b = 3×1 + 4×1 = 7
2. Calcular b·b = 1×1 + 1×1 = 2
3. Factor de escala = 7/2 = 3,5
4. Proyección = 3,5 × (1, 1) = (3,5, 3,5)
El vector de proyección es (3,5, 3,5) con magnitud ≈ 4,95
Frequently Asked Questions
¿Qué sucede si el vector b es un vector cero?
La proyección es indefinida cuando el vector b es un vector cero porque no podemos dividir por cero (b·b = 0). La calculadora mostrará un mensaje de error en este caso.
¿Puedo proyectar un vector 2D sobre un vector 3D?
No, ambos vectores deben tener la misma dimensión. Necesita agregar un componente z al vector 2D (haciéndolo 3D) o eliminar el componente z del vector 3D (haciéndolo 2D).
¿Cuál es la diferencia entre proyección 2D y 3D?
La fórmula es la misma para proyecciones 2D y 3D. La única diferencia es que los vectores 3D tienen un componente z adicional que se incluye en los cálculos del producto escalar.
¿Por qué se llama proyección 'ortogonal'?
Se llama ortogonal porque la diferencia entre el vector original a y su proyección (llamado vector de rechazo) es perpendicular (ortogonal) al vector b.
¿Qué es el factor de escala?
El factor de escala es la razón (a·b)/(b·b) que indica cuántas veces el vector b necesita ser escalado para obtener la proyección. Si es positivo, la proyección apunta en la misma dirección que b; si es negativo, apunta en la dirección opuesta.