Kalkulator Rzutu Ortogonalnego
Oblicz rzut ortogonalny jednego wektora na drugi z rozwiązaniami krok po kroku i szczegółową analizą
Kalkulator Rzutu Ortogonalnego
Oblicz rzut ortogonalny jednego wektora na drugi z rozwiązaniami krok po kroku i szczegółową analizą
Wyniki Rzutu
Wprowadź składowe wektora, aby obliczyć rzut ortogonalny
Related Calculators
Explore these related calculation tools
Kalkulator Wieku – Oblicz Swój Wiek Online Szybko
Użyj kalkulatora wieku online, aby obliczyć dokładny wiek na podstawie daty urodzenia. Proste, szybkie i darmowe narzędzie do codziennego użytku.
Kalkulator Średniej Ocen – Oblicz Swoją Średnią Online
Użyj kalkulatora średniej ocen online, aby szybko obliczyć średnią z przedmiotów i ocen. Proste, dokładne i darmowe narzędzie edukacyjne.
Kalkulator Czasu – Oblicz Upływ Czasu Online
Użyj kalkulatora czasu online, aby obliczyć różnicę między datami i godzinami. Proste, szybkie i darmowe narzędzie do planowania i obliczeń.
Rate this Tool
How useful was this calculator for you?
4.5/ 5
4.6KReviews
How to Use This Calculator
Step-by-step guide to get accurate results
1
Rzut ortogonalny to fundamentalne pojęcie w algebrze liniowej, które rzutuje jeden wektor na drugi. Rzut wektora **a** na wektor **b** tworzy nowy wektor, który leży wzdłuż **b** i reprezentuje składową **a** w kierunku **b**. Jest to szczególnie przydatne w fizyce, grafice komputerowej i analizie danych.
2
Rzut ortogonalny wektora **a** na wektor **b** jest obliczany za pomocą wzoru:
**proj_b(a) = ((a·b) / (b·b)) × b**
Gdzie:
- **a·b** to iloczyn skalarny wektorów a i b
- **b·b** to iloczyn skalarny b ze sobą (wielkość do kwadratu)
- Wynik to wektor równoległy do **b**
3
1. **Wybierz Wymiar**: Wybierz między wektorami 2D lub 3D
2. **Wprowadź Wektor a**: Wprowadź składowe x, y (i z dla 3D) pierwszego wektora
3. **Wprowadź Wektor b**: Wprowadź składowe x, y (i z dla 3D) drugiego wektora
4. **Oblicz**: Kliknij przycisk, aby zobaczyć wektor rzutu i szczegółowe kroki
Kalkulator pokaże wektor rzutu, jego wielkość i szczegółowy opis obliczeń krok po kroku.
4
Kalkulator dostarcza:
- **Wektor Rzutu**: Wynikowy wektor reprezentujący rzut a na b
- **Wielkość**: Długość wektora rzutu
- **Iloczyn Skalarny**: Iloczyn skalarny a·b użyty w obliczeniach
- **Współczynnik Skalowania**: Stosunek (a·b)/(b·b) określający, ile z b tworzy rzut
- **Rozwiązanie Krok po Kroku**: Szczegółowy opis pokazujący każdy krok obliczeń
5
Rzut ortogonalny ma wiele praktycznych zastosowań:
- **Fizyka**: Obliczanie składowych siły w różnych kierunkach
- **Grafika Komputerowa**: Renderowanie obiektów 3D na ekranach 2D
- **Uczenie Maszynowe**: Analiza Głównych Składowych (PCA) i redukcja wymiarowości
- **Inżynieria**: Analiza sił strukturalnych i składowych naprężeń
- **Przetwarzanie Sygnałów**: Rozkład sygnałów na składowe ortogonalne
6
Rzutujmy wektor **a = (3, 4)** na wektor **b = (1, 1)**:
1. Oblicz a·b = 3×1 + 4×1 = 7
2. Oblicz b·b = 1×1 + 1×1 = 2
3. Współczynnik skalowania = 7/2 = 3,5
4. Rzut = 3,5 × (1, 1) = (3,5, 3,5)
Wektor rzutu to (3,5, 3,5) o wielkości ≈ 4,95
Frequently Asked Questions
Co się dzieje, jeśli wektor b jest wektorem zerowym?
Rzut jest nieokreślony, gdy wektor b jest wektorem zerowym, ponieważ nie możemy dzielić przez zero (b·b = 0). Kalkulator wyświetli komunikat o błędzie w tym przypadku.
Czy mogę rzutować wektor 2D na wektor 3D?
Nie, oba wektory muszą mieć ten sam wymiar. Musisz dodać składową z do wektora 2D (czyniąc go 3D) lub usunąć składową z z wektora 3D (czyniąc go 2D).
Jaka jest różnica między rzutem 2D a 3D?
Formuła jest taka sama dla rzutów 2D i 3D. Jedyna różnica polega na tym, że wektory 3D mają dodatkową składową z, która jest uwzględniana w obliczeniach iloczynu skalarnego.
Dlaczego nazywa się to rzutem 'ortogonalnym'?
Nazywa się to ortogonalnym, ponieważ różnica między oryginalnym wektorem a a jego rzutem (nazywana wektorem odrzucenia) jest prostopadła (ortogonalna) do wektora b.
Co to jest współczynnik skalowania?
Współczynnik skalowania to stosunek (a·b)/(b·b), który wskazuje, ile razy wektor b musi być przeskalowany, aby uzyskać rzut. Jeśli jest dodatni, rzut wskazuje w tym samym kierunku co b; jeśli ujemny, wskazuje w przeciwnym kierunku.