Kalkulator twierdzenia o wartości średniej
Zastosuj twierdzenie o wartości średniej, aby znaleźć punkty na krzywej
Obsługiwane: +, -, *, /, **, sin, cos, tan, sqrt, log, ln, exp, abs, pi, e
Wzór twierdzenia o wartości średniej:
f'(c) = rac{f(b) - f(a)}{b - a}gdzie a < c < b
Wprowadź funkcję i odstęp, a następnie kliknij Obliczaćaby zobaczyć wynik.
Wprowadź funkcję i odstęp, a następnie kliknij Obliczaćaby zobaczyć wynik.
Rate this Tool
How useful was this calculator for you?
How to Use This Calculator
Step-by-step guide to get accurate results
Co to jest kalkulator twierdzenia o wartości średniej?
Jak korzystać z kalkulatora
Wprowadź funkcję
Wprowadź odstęp [a, b]
Kliknij Oblicz
Przejrzyj wyniki
Kluczowe funkcje kalkulatora
Bezpłatny dostęp online
Natychmiastowe obliczenia
Obsługuje wiele funkcji
Łatwy w obsłudze interfejs
Dokładne wyniki
Przypadki użycia
Edukacja
Prace domowe i zadania
Przygotowanie do egzaminów
Badania i inżynieria
Przykładowe obliczenia
Przykład 1
Przykład 2
Frequently Asked Questions
Co to jest kalkulator twierdzenia o wartości średniej?
Czy kalkulator jest darmowy?
Jakie funkcje są obsługiwane?
Czy muszę się zarejestrować, aby z niego korzystać?
Czy może znaleźć wiele wartości c?
Czy jest dokładny w przypadku złożonych funkcji?
Czy uczniowie mogą używać go do odrabiania zadań domowych?
Czy wyjaśnia kroki?
Czy może zastąpić ręczne obliczenia?
Gdzie mogę uzyskać do niego dostęp?
Related Math Calculators
Explore these related calculation tools
Twierdzenie o wartości średniej (MVT) jest kluczowym wynikiem rachunku różniczkowego. Stwierdza, że jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b] i różniczkowalna w przedziale otwartym (a, b), to istnieje co najmniej jeden punkt c w (a, b) taki, że pochodna f'(c) jest równa średniej szybkości zmian w [a, b).
Z geometrycznego punktu widzenia oznacza to, że istnieje co najmniej jeden punkt, w którym styczna do krzywej jest równoległa do siecznej łączącej (a, f(a)) i (b, f(b)).
Wzór twierdzenia o wartości średniej:
f'(c) = rac{f(b) - f(a)}{b - a}gdzie a < c < b
Logika krok po kroku:
- Sprawdź, czy funkcja jest ciągła w [a, b] i różniczkowalna w (a, b).
- Compute the average rate of change: rac{f(b) - f(a)}{b - a}.
- Znajdź pochodną f'(x).
- Solve f'(c) = rac{f(b) - f(a)}{b - a} for c in (a, b).
Warunki MVT:
- f(x) musi być ciągłe na przedziale domkniętym [a,b]
- f(x) musi być różniczkowalna na przedziale otwartym (a,b)
- Twierdzenie gwarantuje co najmniej jedno takie c, ale może być ich więcej.
- Wprowadź funkcję f(x), używając standardowej notacji matematycznej (np. x**2, sin(x), -4*x**3 + 6*x - 2).
- Określ punkty końcowe przedziału aib (z a < b).
- Kliknij „Oblicz punkt”, aby znaleźć wartości c.
- Przejrzyj rozwiązanie krok po kroku pokazujące wszystkie obliczenia.
- Sprawdź, czy każde c leży w otwartym przedziale (a, b).
Przykład 1: f(x) = x², [1, 3]
Rozwiązanie krok po kroku:
• f(1) = 1, f(3) = 9
• AROC = (9-1)/(3-1) = 4
• f'(x) = 2x
• Rozwiąż: 2c = 4 ⇒ c = 2
• Sprawdź: 2 ∈ (1,3) ✅
Przykład 2: f(x) = x³, [0, 2]
Rozwiązanie krok po kroku:
• f(0) = 0, f(2) = 8
• AROC = (8-0)/(2-0) = 4
• f'(x) = 3x²
• Rozwiązanie: 3c² = 4 ⇒ c² = 4/3 ⇒ c = ±√(4/3) ≈ ±1,154 (tylko dodatnie w przedziale)
• Sprawdź: 1,154 ∈ (0,2) ✅
Przykład 3: f(x) = -4x3 + 6x - 2, [-4, 2] (poprawione obliczenia)
Rozwiązanie krok po kroku:
• f(-4) = 230, f(2) = -22
• AROC = (-22 - 230)/(2 - (-4)) = -252/6 = -42
• f'(x) = -12x² + 6
• Rozwiąż: -12c² + 6 = -42 ⇒ -12c² = -48 ⇒ c² = 4 ⇒ c = ±2
• Sprawdź: -2 i 2 ∈ (-4,2)? -2 ✅, 2 ❌ (2 to punkt końcowy, ale przerwa otwarta)