Relative Extrema Rechner
Finden Sie alle relativen Maxima, Minima und Sattelpunkte mit detaillierten Schritt-für-Schritt-Lösungen
Verwenden Sie ^ für Potenzen (z.B. x^2, x^3). Beispiel: x^3 - 6*x^2 + 9*x + 1
Schnellstart
- •Geben Sie Polynomfunktionen mit ^ für Potenzen ein
- •Beispiel: x^3 - 3*x^2 + 2
- •Bereich ist optional (Standard: alle reellen Zahlen)
- •Verwendet den zweiten Ableitungstest zur Klassifizierung
How to Use This Calculator
Step-by-step guide to get accurate results
Was sind relative Extrema?
Relative Extrema sind lokale Spitzen und Täler des Funktionsgraphen. Ein Lokales Maximum tritt auf, wo f(c) ≥ f(x) für alle x nahe c (Kurve nach unten ∩). Ein Lokales Minimum tritt auf, wo f(c) ≤ f(x) für alle x nahe c (Kurve nach oben ∪). Im Gegensatz zu absoluten Extrema (globales Maximum/Minimum) hängen relative Extrema nur von nahen Werten ab.
Wie der Rechner funktioniert
Der Rechner verwendet einen systematischen 3-Schritt-Prozess zum Finden und Klassifizieren relativer Extrema.
Schritt 1: Erste Ableitung
Der Rechner berechnet f'(x) = d/dx f(x). Das Setzen von f'(x) = 0 ergibt kritische Punkte, wo Extrema auftreten können.
Schritt 2: Kritische Punkte
Kritische Punkte sind Werte von x, wo f'(x) = 0 oder f'(x) undefiniert ist. Dies sind alle Kandidatenpunkte für relative Maxima oder Minima.
Schritt 3: Klassifizierungstests
Test der zweiten Ableitung: f''(c) > 0 bedeutet Lokales Minimum, f''(c) < 0 bedeutet Lokales Maximum, f''(c) = 0 ist Nicht schlüssig. Test der ersten Ableitung: Überprüfen Sie die Vorzeichenänderung von f'(x) um jeden kritischen Punkt.
Kernformeln
Erste Ableitung: f'(x) = d/dx f(x). Zweite Ableitung: f''(x) = d²/dx² f(x). Diese Formeln sind die Grundlage zum Finden und Klassifizieren von Extrema.
Detailliertes Beispiel
Funktion: f(x) = x³ - 3x² + 2. Erste Ableitung: f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x-2), ergibt kritische Punkte x = 0, 2. Zweite Ableitung: f''(x) = 6x - 6. Bei x=0: f''(0) = -6 < 0, also Lokales Maximum. Bei x=2: f''(2) = 6 > 0, also Lokales Minimum. Werte: f(0) = 2, f(2) = -6. Ergebnis: Max(0, 2), Min(2, -6). Interaktiver Graph zeigt Spitze bei x=0, Tal bei x=2, mit Ableitungsüberlagerung.
Warum diesen Rechner verwenden?
Sofortige Ergebnisse
Lösen Sie selbst komplexe Funktionen in Sekunden ohne manuelle Berechnungen.
Schritt-für-Schritt-Lösungen
Vollständige Ableitungsberechnungen klar zum Lernen erklärt.
Interaktive Grafiken
Zoombare Diagramme mit markierten Extrema zum visuellen Verständnis.
100% Kostenlos
Keine Bezahlschranken oder Abonnements erforderlich, unbegrenzte Nutzung.
Genau und Fehlerfrei
Symbolisches und numerisches Lösen für Präzision enthalten.
Unterstützte Funktionen
Polynomfunktionen
x^n + ... für jeden Polynomgrad.
Trigonometrische Funktionen
sin(x), cos(x), tan(x) mit periodischer Extrema-Erkennung.
Exponentialfunktionen
e^x und andere Exponentialausdrücke.
Logarithmische Funktionen
ln(x) und log-Funktionen.
Stückweise Funktionen
Funktionen, die in mehreren Teilen definiert sind.
Relative vs Absolute Extrema
Den Unterschied zwischen lokalen und globalen Extrema verstehen.
Relative Extrema
Bereich: Lokale Nachbarschaft. Anzahl: Mehrere möglich. Test: f'(x) = 0. Beispiel: f(x) = x³ hat min bei x=0.
Absolute Extrema
Bereich: Gesamter Definitionsbereich. Anzahl: Ein Max, ein Min. Test: f'(x) = 0 plus Endpunkte. Beispiel: Grenzen auch prüfen.
Wie man diesen Rechner verwendet
Die Verwendung des Rechners ist schnell und unkompliziert. Geben Sie einfach Ihre Funktion ein und erhalten Sie sofortige Ergebnisse.
Schritt 1: Funktion eingeben
Geben Sie Ihre Funktion ein, z.B. x^3-3x^2+2 oder sin(x)+x.
Schritt 2: Intervall festlegen (Optional)
Optional ein Intervall [a,b] festlegen, um den Definitionsbereich einzuschränken.
Schritt 3: Berechnen
Klicken Sie auf Berechnen, um Punkte, Ableitungstests, Grafik zu sehen und PDF zu exportieren. Trigonometrisches Beispiel: f(x) = x - 2sin(x) ergibt kritische Punkte bei ungefähr x=2.83 (max), x=6.07 (min), mit vollständigem interaktivem Graphen.
Frequently Asked Questions
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